镶嵌是如何工作的

镶嵌的范围从基本到难以置信。最简单的图形包含一个覆盖二维平面而不留下任何缝隙的形状。从那里开始，天空就是极限，从多种不规则形状的复杂图案，到组合在一起填充空间甚至空间的三维固体更高的维度．

三种规则的几何形状自己镶嵌:等边三角形、正方形和六边形。其他四边形状也一样，包括矩形和菱形(钻石)。通过扩展，非等边三角形无缝拼接，如果放置背靠背，创建平行四边形。奇怪的是，任何形状的六边形，如果它们的相对边相等，就会镶嵌。因此，任何四边形状都可以形成一个无缝隙的马赛克，如果放置背靠背，形成一个六边形。

你也可以通过组合正多边形来镶嵌一个平面，或者通过特殊的排列方式混合正多边形和半正多边形。多边形是由线段组成的二维形状，如三角形和矩形。正多边形是所有边和所有角都相等的多边形的特殊情况。等边三角形和正方形都是正多边形的好例子。

所有的镶嵌，即使是像M.C.埃舍尔的那种形状复杂的镶嵌，都是从一个没有间隙的重复形状开始的。诀窍是改变形状——比如菱形——使它仍然紧密地贴合在一起。一种简单的方法是将一个形状从一边剪下来，然后粘贴到另一边。这就产生了一种形状，它可以很容易地与自身结合在一起并堆叠起来。你改变的方向越多，图案就越有趣。

如果你想更冒险一点，试着在一边画一条波浪线，然后在另一边复制同样的线条。这种方法可能需要一些调整，以使各部分正确地相互锁定。例如，如果你的多边形有奇数条边，你可能想把剩下的边分成两半，然后在分割的每一边画镜像形状。这就创造了一个与自身连锁的侧面。

试试你的运气，用两个或更多的形状镶嵌。你可以用几何方法来做，或者简单地用你喜欢的任何形状填充页面，然后想象一个适合负空间的图像。一个相关的方法需要用更小的形状填充一个已知的镶嵌形状。甚至有分形镶嵌——形状的模式紧密地贴合在一起，并在多个尺度上自相似。

如果最初的结果看起来有点荒谬，也不要担心。埃舍尔花了数年时间才掌握这些疯狂的马赛克，即使是他也有不总是合理的配对。

既然我们已经打下了基础，让我们来看看研究人员用来解决棘手的理论和应用问题的一些特殊镶嵌。

当研究人员探索镶嵌并对其进行数学定义时，他们确定了某些擅长解决难题的类型。一个流行的例子是泰森多边形法镶嵌（VT)也被称为狄利克雷镶嵌或蒂森多边形。

VT是一种基于点集的镶嵌，比如星星在一个图表。每个点都被一个多边形单元格(由线段形成的闭合形状)所包围，这个多边形单元格包含了比任何其他点更接近其定义点的整个区域。单元格边界(或多边形段)与两点等距;三个或更多单元格相交的节点与三个或更多定义点的距离相等。vt也可以镶嵌更高的维度。

由此产生的VT模式类似于蜂窝状的蜜蜂可能会在彻夜花蜜狂欢后形成。尽管如此，这些歪歪扭扭的细胞虽然缺乏美感，却在价值上绰绰有余。

像其他镶嵌一样，vt在自然界中反复出现。原因很容易理解:任何涉及点源以恒定速度生长在一起的现象，比如岩石上的地衣孢子，都会产生类似vt的结构。连接的气泡集合形成三维vt，这是研究人员在模拟泡沫时利用的相似性。

vt还提供了可视化和分析数据模式的有用方法。紧密聚集的空间数据将在VT上突出，因为区域密集的细胞。天文学家利用这一特性来帮助他们进行识别星系集群。

由于计算机处理器可以根据点源数据和一组简单指令动态构建VT，使用VT节省内存和处理能力——这对于生成尖端计算机图形或模拟复杂系统至关重要。通过减少所需的计算，vt为蛋白质折叠、细胞建模和组织模拟等其他不可能的研究打开了大门。

一个与VT关系密切的人德劳内镶嵌还拥有多种用途。要做一个Delaunay镶嵌，从VT开始，然后在细胞定义点之间画线，这样每一条新线与两个Voronoi多边形的共享线相交。由此产生的圆滚滚三角形晶格为简化图形和地形提供了方便的结构。

数学家和统计学家使用Delaunay镶嵌来回答其他无法计算的问题，比如为空间中的每个点解一个方程。他们不再尝试无限计算，而是为每个德劳内单元计算一个解。

1921年1月27日，在柏林普鲁士科学院的演讲中，爱因斯坦说:“就涉及现实的数学定律而言，它们是不确定的;只要他们是确定的，他们就不涉及现实。”很明显，镶嵌的近似不够完美。尽管如此，它们通过将原本难以处理的问题简化为可由当前计算能力管理的形式来实现进展。更重要的是，它们提醒我们宇宙的内在美和秩序。