分形是如何工作的

在我们进入更多细节之前，我们需要介绍一些基本术语，这些术语将帮助您理解分形所具有的独特性质。

所有的分形都有一个程度自相似性。这意味着，当你越来越仔细地观察分形的细节时，你可以看到一个整体的复制品。蕨类植物是一个典型的例子。看看整个叶子。看到从主茎伸出的树枝了吗？这些树枝中的每一个看起来都与整个叶子相似。它们与原始植物自相似，只是规模较小。

这些自相似模式是一个简单方程式或数学陈述的结果。分形是通过一个称为迭代，其中一次迭代的结果构成下一次迭代的输入值。例如，如果你观察鹦鹉螺的内部，你会看到每一个腔体壳牌基本上是前一个腔室的副本，只是当你从外部追踪到内部时更小。

分形也递归，不管规模。你是否曾经走进一家商店的化妆间，发现自己被镜子包围?无论好坏，你看到的是一个无限递归的自我形象。

最后，一个关于几何学的注释。我们大多数人在成长过程中都被教导长度、宽度和高度是三个维度，就是这样。分形几何通过在空间中创建不规则形状，将这一概念转化为曲线分形维数形状的分形维数是衡量形状复杂性的一种方法。

所有这些，我们可以清楚地看到a纯分形是一个几何形状这是通过递归模式的无限迭代和无限细节实现的自相似。简单,是吧?别担心，我们很快就会查清楚的。

当大多数人想到分形时，他们通常会想到其中最著名的一个，曼德尔勃洛特集合。它以数学家Benoit Mandelbrot的名字命名，实际上已经成为分形概念的同义词。但它绝不是城里唯一的分形。

我们之前提到过蕨类植物，它代表自然界简单而有限的分形之一。有限的分形不是无限的;它们只显示了几次相同形状的迭代。简单和有限的分形在它们的自相似性上也不精确——蕨类植物的小叶可能不能完全模仿大叶的形状。在自然界中发现的这种分形的另外两个经典例子是贝壳的螺旋形和雪花的晶体。虽然在数学上并不精确，但它们仍然具有分形性质。

早期非洲和纳瓦霍艺术家注意到了这些递归模式中的美，并试图在日常生活的许多方面模仿它们，包括艺术和城市规划[来源:Eglash,包].与自然界一样，每个模式的递归迭代次数受其使用的材料规模的限制。

列奥纳多·达·芬奇在树枝上也看到了这种模式，因为树枝生长并分裂成更多的树枝[来源:达芬奇]1820年，日本艺术家北草胜寿（Katsushika Hokusai）创作了“神奈川的巨浪”，这是一幅彩色的巨浪图，巨浪顶部分裂成越来越小（自相似）的波浪[来源：新星]．

数学家们最终也参与了这一行动。加斯顿·朱莉娅在20世纪初提出了使用反馈回路产生重复模式的想法。乔治·康托在19世纪80年代对递归集和自相似集的性质进行了实验，1904年，赫尔格·冯·科赫发表了无限曲线的概念，使用了大约t当然，我们已经提到了刘易斯·理查森在尝试测量英国海岸线时探索科赫的想法。

然而，这些对复杂数学的探索大多是理论的。当时还没有一台机器能够在合理的时间内完成如此繁重的数学计算工作，以找出这些想法的真正用途。随着计算机能力的发展，数学家检验这些理论的能力也在发展。

在下一节中，我们将了解分形几何背后的数学。

我们认为山和现实世界中的其他物体是三维的。在欧几里德几何中，我们给对象的长度、高度和宽度赋值，然后根据这些值计算面积、体积和周长等属性。但大多数物体并不是统一的;例如，山脉的边缘是参差不齐的。分形几何学通过量化形状表面的粗糙程度，使我们能够更准确地定义和衡量形状的复杂性。输入分形维数，它的定义是大于或等于物体的欧几里得(或拓扑)维数(D => D)_T).

一种相对简单的测量方法叫做盒数法(或Minkowski-Bouligand Dimension)。尝试一下，在一张网格纸上放一个分形。分形越大，网格纸越细，尺寸计算越精确。

D = log N / log (1/h)

在这个公式,D是尺寸,N其中包含分形部分的网格盒的数量是多少h是分形在图纸上所跨越的网格块数。然而，尽管此方法简单易行，但并不总是最精确的。

测量分形的一种更标准的方法是使用Hausdorff维数，即D=对数N/对数s，其中N分形从每个部分产生的部分数，和年代是每个新零件相对于原始段的尺寸。它看起来很简单，但取决于分形，这可能会很快变得复杂。

你可以通过改变方程的一些初始条件来得到无穷多的分形;这就是混沌理论的由来。从表面上看,混沌理论听起来像是完全不可预测的东西，但分形几何学是关于在最初看起来混乱的地方找到秩序。开始计算你可以改变这些初始方程条件的多种方法，你很快就会明白为什么有无限数量的分形。

不过你不会用门格尔海绵打扫地板的，所以分形有什么好处呢?

曼德布洛特在1975年发表了他关于分形的开创性著作后，1978年罗兰·卡朋特(Loren Carpenter)想用电脑生成一些山，这是他的第一次实际应用。使用以三角形为起点的分形，他创造了一个非常逼真的山脉。新星]．

上世纪90年代，内森·科恩(Nathan Cohen)受到科赫雪花(Koch Snowflake)的启发，发明了一种更紧凑的无线电天线，只用了一根电线和一把钳子。如今，手机天线使用诸如门格海绵、盒形分形和填充空间分形等分形来在最小的空间内最大化接收能力。科恩]．

虽然我们今天没有时间来介绍分形的所有用途，但其他一些例子包括生物、医学、流域建模、地球物理学和云的形成和空气流动的气象学[来源:新星]．

本文旨在让您开始在令人兴奋的分形几何世界。如果你有数学方面的爱好，你可能会想要更多地利用下一页列出的资源来探索这个世界。不太擅长数学的读者可能想要探索艺术的无限潜力，以及这种难以置信和复杂的灵感来源的美丽。

最初发表于2011年4月26日